Álgebras y Grupos de Lie en QFT

Para empezar esta nueva serie de posts (soy un vago incorregible), vamos a comenzar definiendo lo que es un Álgebra sobre un Cuerpo:

Sea un cuerpo. Sea un espacio vectorial junto con una operación binaria de en , a la cual denotaremos con . Entonces, decimos que es un Álgebra sobre , si se cumplen las siguientes identidades para cualesquiera elementos de , y cualesquiera :

• Distributividad en la izquierda:
• Distributividad en la derecha:
• Compatibilidad con los escalares: 

Estas tres condiciones suelen resumirse diciendo que la operación binaria es bilineal.

Ahora, un Álgebra de Lie, es un tipo particular de Álgebra sobre un Cuerpo (más suscintamente, -Álgebra): es un espacio vectorial sobre un cuerpo , junto con una operación binaria , la cual cumple con las siguientes propiedades:

• Es Bilineal
• Es Alternante en : para todo
• Cumple la Identidad de Jacobi: , para todo

Por otra parte, un Grupo de Lie real es un grupo que también es una varieda diferenciable de dimensión finita, y en la cual las operaciones de grupo de multiplicación e inversión son aplicaciones suaves (recordemos que en un grupo, siempre existe un elemento inverso para cada miembro del conjunto, en función de la operación binaria). Esto quiere decir que la suavidad del operador multiplicación:

implica que es una aplicación suave de la variedad producto en la variedad

Para cada grupo de Lie, podemos asociar un Álgebra de Lie, cuyo espacio vectorial subyacence es el espacio tangente de G en el elemento identida, el cual captura completamente la estructura local del grupo. Visto con laxitud, los elementos del Álgebra de Lie son elementos del grupo que están infinitesimalmente cerca a la identidad, mientras que el corchete de Lie está relacionado con el conmutador de dos elementos infinitesimales.

(Continuará)

 

Sobre Epistemología Y Ciencia (2)

En esta coincidencia entre las palabras y las imágenes yace el sentido de las cosas. La imágenes de la misma manera se registran desde un punto especifico de la óptica en que se logra capturar una escena presenciada y es bastante claro que toda escena tendrá una tonalidad infinitamente distinta dependiendo del punto focal en el que se coloque la lente especular.

De nuevo el asunto de la subjetividad en la interpretación de la realidad. Pero separemos la interpretación, del hecho. Se está afirmando que toda manifestación lingüística responde a una recepción subjetiva de los hechos y por tanto también es subjetiva. Pero esto debe considerarse a la luz de la premisa de que los hechos son los mismos para todos los sujetos.

Si los hechos fueran diferentes para diferentes sujetos, entonces el mismo lenguaje no podría haberse desarrollado, puesto que no existiría la posibilidad de comunicarnos con otros individuos:  las asociaciones mentales (sean cuales fueren) que permiten que uno pueda aprender y utilizar un lenguaje, responderían a una manifestación de la realidad diferente.

El problema suele surgir cuando las proposiciones abarcan cantidades mayores de hechos y cuando entra el elemento interpretativo. Nadie en un grupo de personas reunidas en una habitación podría estar en desacuerdo con que, en circunstancias ordinarias, la luz del cuarto estuviera prendida o apagada (se puede argumentar sobre el rol de los sentidos en nuestra posibilidad de manifestar una proposición sobre la realidad, lo cual es parte de otra discusión[1]) pero pueden haber discrepancias en cuanto a cuán brillante es la luz del foco.

Por lo tanto, considero que se está desviando la atención hacia la importancia testimonial de las situaciones, cuando lo más sensato es pensar en que estas refieren a limitaciones en el lenguaje utilizado, y no restricciones sobre la precisión con la que podamos manifestar algo sobre la realidad. Es aquí donde entran las alternativas de un lenguaje matemático y formal que permita (con el fin de argumentar, y no como recurso práctico) esclarecer lo que se quiere decir con cada hecho. Incluso con el hecho de la bombilla mencionado arriba, no nos satisfacemos con decir que “el cuarto está muy/poco iluminado”, sino que atribuímos, mediante una comparación simple, una medida de la intensidad de la luz (e.g., estableciendo una correlación con la temperatura del filamento). Este tipo de acciones no dejan lugar a las subjetividades del lenguaje, puesto que nuevamente llevan a las posibilidades proposicionales a la simple verificación, digamos, de un número (en el ejemplo mencionado, a la razón de dos números).

Si la construcción lingüística es arbitraria y el registro especular es singular, nos lleva a preguntarnos sobre la construcción de realidades. Es decir que estamos hablando del registro de realidades interpretativas, que se sustentan por puntos focales de elecciones subjetivas (punto teórico estructuralista que se interrelaciona con el principio de incertidumbre de Heisenberg, axis de la física cuántica).

El punto de la construcción de realidades se basa en que, presuntamente por esta subjetividad en el lenguaje (que, como vemos, no es una condición inescapable de nuestras posibilidades argumentativas y verificativas), el mismo testimonio de la realidad está condenado a la subjetividad. En cuanto a una alternativa libre del individuo, es decir, en cuanto a la libertad de cada uno de sugestionarse un reporte dado de los hechos, no se puede estar en desacuerdo. Pero por lo que se menciona en el primer artículo de esta serie, la variedad de subjetividades no es un argumento para darle el mismo peso a cada una. Uno adjudica relevancia bien por razones emotivas, o por la sensatez que éstas tengan dentro de un esquema lógico [2], o por lo general, por una mezcla de ambas cualidades.

Y aquí es donde entra un punto bastante delicado de la argumentación en el artículo: la mención de la mecánica cuántica, específicamente, al principio de incertidumbre de Heisenberg.

Primero me gustaría hacer una somera explicación este principio: todo lo que afirma es que, en ciertos pares de observables -aquellos cuyos operadores no conmutan- existe una relación inversa en cuanto a la determinación de sus desviaciones estándar. Aquí hay varios puntos importantes que esclarecer:

1. No estamos hablando de variables en el sentido clásico, sino de sus equivalentes en la formulación cuántica: los observables. Estos corresponden a un operador dentro de un Espacio de Hilbert, cuyos autovalores son los valores esperados del observable dentro de un sistema.
2. El principio de incertidumbre no debería ser considerado como un “axis” de la mecánica cuántica. Es una consecuencia de la interpretación estadística de Born, según la cual la función de onda nos permite conocer la probabilidad de encontrar a la partícula en un estado determinado (más precisamente, el cuadrado de su módulo, integrado, y aplicado el operador adecuado). El hecho de medir a la posición, por ejemplo, nos da un valor esperado a partir de su función de onda, pero este hecho de medir, afecta a la función de onda, hecho conocido como su “colapso”. De ahí que se encuentre una dispersión amplia si decidimos medir el momentum inmediatamente después.
3. Existen observables que sí conmutan, y por lo tanto podemos obtener información simultánea de ellos tan precisa como queramos (i.e. podamos), sin restricciones teóricas. Además, independientemente, podemos comprobar una y otra vez a un mismo observable, obteniendo siempre el mismo valor, sin aparecer una dispersión que no tenga que ver con limitaciones experimentales.

Esto nos lleva al asunto de la cita: ¿cómo pueden estar relacionadas las nociones de la subjetividad del lenguaje con estas propiedades físico-matemáticas? yo considero que hay una serie de malinterpretaciones por parte del autor, pues en ningún momento las conclusiones o premisas de una noción se ayudan o complementan de las conclusiones o las premisas de la segunda. Es más, precisamente en física se evita tocar los puntos filosóficos sobre la naturaleza ontológica de los hechos, sino sólamente a su descripción precisa dentro de un esquema predictivo. Y ya hemos visto cláramente que la lectura de Saussure que Larrea hace, se queda bastante corta en comparación a otros esquemas alternativos (siendo apenas una opción, la que he presentado yo).

En las siguientes dos entregas hablaré un poco más sobre los límites del conocimiento, el teorema de incompletitud de Gödel y el asunto de la fe en la ciencia, vs. la fe en la filosofía.

Pie de Página:

[1] Por ejemplo, se suele mencionar el caso de un individuo hipotético que no tuviera la capacidad de utilizar efectivamente a sus sentidos, e.g, alguien en estado de coma que tenga la capacidad de estar conciente de su pensamiento. No obstante, ante este caso, la pregunta original, sobre la capacidad de comparar los hechos con otro sujeto, carece de sentido, pues el individuo no será capaz de comunicar qué es lo que percibe de la realidad. Su lenguaje será entonces, un sistema cerrado.

[2] Con esto me refiero al conjunto de hechos con los cuales nos hemos acostumbrado a percibir el mundo, dentro de la premisa de que éstos tienen una estructura causal y predecible. No es una premisa en el aire, como muchos entusiastas del relativismo quisieran afirmar, sino que viene sustentada por su efectividad ante diversos tipos de situaciones, manifiestamente verificables. Tampoco quiere decir que se pueda tener la garantía de que tal esquema sea infalible, sino que los nuevos hechos, asumiendo que contradicen algún esquema anterior, tienen que tener la capacidad de ajustarse a un nuevo esquema más general que habremos de dilucidar. La otra posibilidad, por supuesto, es no aceptar tal asunción primordial, sino hablar de una conjunto de hechos caóticos tras otro, o al menos de una serie de eventos azarosos seguidos de otros con cierta causalidad. Esto entra en clara contradicción con la manera en la que percibimos el mundo y requiere un alto grado de sugestión personal.